2. В треугольнике ABC отрезок BD соединяет вершину B с точкой D, лежащей на стороне AC. Луч BD является биссектрисой угла ABC. Докажите, что если AB = CB, то BD ⟂ AC.

Доказательство.

1. Рассмотрим треугольники ABD и CBD.
2. По условию AB = CB.
3. Сторона BD является общей для треугольников: BD = BD.
4. Так как луч BD — биссектриса угла ABC, то ∠ABD = ∠DBC.
5. Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними.
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ADB = ∠BDC.
7. Точки A, D и C лежат на одной прямой, поэтому углы ADB и BDC — смежные, а их сумма равна 180°. Равные смежные углы являются прямыми, поэтому ∠ADB = ∠BDC = 90°.

Значит, BD ⟂ AC.

Ответ: BD перпендикулярна AC.