2. В треугольнике ABC отрезок BD соединяет вершину B с точкой D, принадлежащей стороне AC. Луч BD является биссектрисой угла ABC. Докажите, что если AB = CB, то BD ⟂ AC.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD.

1. По условию AB = CB.
2. BD — общая сторона этих треугольников.
3. Так как BD — биссектриса угла ABC, то ∠ABD = ∠DBC.
4. Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует, что ∠ADB = ∠BDC. Точки A, D и C лежат на одной прямой, поэтому эти углы смежные и в сумме равны 180°.
6. Равные смежные углы составляют по 90°. Значит, BD перпендикулярен AC.

Ответ: BD ⟂ AC.