2. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что 2BM = AB и ∠ABM = 70°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Поскольку BM — медиана, M — середина AC, поэтому AM = MC. Из условия AB = 2BM. Следовательно, AM = MC = BM: точка M равноудалена от A, B и C.

Треугольник ABM равнобедренный, причём AB = 2BM. Обозначим ∠BAM = α. По сумме углов треугольника ABM угол AMB равен 110° − α. По теореме синусов:

\(\frac{AB}{BM}=\frac{\sin(\angle AMB)}{\sin(\angle BAM)}=2\), поэтому \(\sin(110^\circ-\alpha)=2\sin\alpha\). Отсюда \(\tan\alpha=\frac{\sin110^\circ}{2+\cos110^\circ}\), то есть \(\alpha\approx23.27^\circ\).

Так как A, M, C лежат на одной прямой, ∠BMC = 180° − ∠BMA = 70°. В треугольнике BMC стороны BM и MC равны, следовательно, его углы при B и C равны; каждый равен \((180^\circ-70^\circ)/2=55^\circ\).

Тогда ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = 70° + 55° = 125°.

Ответ: 125°.