2) В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что AB = 2BM и ∠ABM = 60°. Найдите ∠ABC.

1. Рассмотрим треугольник ABM. Обозначим BM = x, тогда AB = 2x. По теореме косинусов: AM² = (2x)² + x² − 2·2x·x·cos 60° = 3x², следовательно, AM = √3x.
2. В треугольнике ABM угол AMB равен 90°: по теореме косинусов cos ∠AMB = (AM² + BM² − AB²)/(2·AM·BM) = 0. Поскольку M лежит на AC, BM ⟂ AC.
3. Так как BM — медиана, AM = MC = √3x. В прямоугольном треугольнике BMC получаем tan ∠MBC = MC/BM = √3, поэтому ∠MBC = 60°.
4. Луч BM лежит внутри угла ABC, поэтому ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = 60° + 60° = 120°.

Ответ: ∠ABC = 120°.