№2. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что AB = 2BM, угол ABM равен 60°. Найдите угол ABC.

Поскольку BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому \(AM = MC\).

Из \(AB = 2BM\) и \(\angle ABM = 60^\circ\) следует, что треугольник ABM равнобедренный с вершиной B: по теореме косинусов \(AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2\cdot AB\cdot BM\cdot\cos 60^\circ = 3BM^2\). Это само по себе не задаёт требуемого угла при B для произвольного треугольника ABC: положение C на луче, противоположном MA, определено, но из равенства AM = MC следует, что векторы \(\overrightarrow{MA}\) и \(\overrightarrow{MC}\) противоположны. В частности, можно установить \(\angle BMC = 180^\circ - \angle BMA\).

В треугольнике ABM \(\angle BAM = 60^\circ\), поскольку \(AB = 2BM\) и \(\angle ABM = 60^\circ\) дают по теореме синусов \(\sin \angle BAM = \sin 60^\circ/2\); угол не равен 60° вообще. Следовательно, данные не определяют единственное значение \(\angle ABC\): положение стороны BC относительно BM зависит от длины MC, но медиана требует только равенства AM и MC, которое уже задано, а угол между BA и BC вычисляется из формы треугольника.

Уточним: обозначим \(BM=1\), тогда \(AB=2\), а угол ABM равен 60°. По теореме косинусов \(AM=\sqrt{3}\). Так как M — середина AC, \(MC=\sqrt{3}\). В треугольнике BMC стороны BM=1 и MC=\(\sqrt{3}\), а угол BMC равен \(180^\circ-\angle BMA\). Из треугольника ABM по косинусам \(\cos\angle BMA=(BM^2+AM^2-AB^2)/(2BM\cdot AM)=0\), значит \(\angle BMA=90^\circ\). Поэтому \(\angle BMC=90^\circ\), и \(\tan\angle MBC=MC/BM=\sqrt{3}\), откуда \(\angle MBC=60^\circ\). Тогда \(\angle ABC=\angle ABM+\angle MBC=120^\circ\).

Ответ: \(120^\circ\).