2. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите угол ABC, если ∠BAC = 30°, а ∠BMC = 45°.

Так как BM — медиана, точка M является серединой AC. Отразим точку B относительно M и обозначим её D. Тогда M — середина и BD, поэтому диагонали AC и BD четырёхугольника ABDC делятся пополам; следовательно, ABDC — параллелограмм.

В параллелограмме AB ∥ DC, а точки A, M, C лежат на одной прямой. Поэтому угол между AB и AC равен углу между DC и CM: ∠DCM = ∠BAC = 30°.

Треугольники BMC и DMC равны по двум сторонам и углу между ними: BM = MD, MC — общая сторона, а углы BMC и DMC равны как вертикальные. Значит, ∠MDC = ∠MBC. В треугольнике DMC угол при M равен 180° − 45° = 135°, поэтому ∠MDC = (180° − 135° − 30°) / 2 = 7.5°.

Тогда ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC. Из равенства параллельных направлений AB ∥ DC следует, что ∠ABM = 180° − ∠MDC − ∠BMC? Проще: поскольку ∠ABM = ∠BDC, а ∠BDC = ∠BDM + ∠MDC; получаем ∠ABM = 45° + 7.5° = 52.5°. Также ∠MBC = ∠MDC = 7.5°.

Ответ: ∠ABC = 60°.