2. В треугольнике ABC проведены медиана AD, биссектриса BE и высота CK. Укажите номера верных утверждений:

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC с проведенными AD (медиана), BE (биссектриса) и CK (высота).

• 1) AE = CE. Медиана AD делит сторону BC пополам, то есть BD = CD. Это утверждение верно только для равнобедренного или равностороннего треугольника, если AD является также и медианой к основанию. Однако, в общем случае, AE не обязательно равно CE.
• 2) BD = CD. Это верно, так как AD — медиана, и по определению медиана делит противоположную сторону пополам.
• 3) ∠BAD = ∠CAD. Это верно, так как BE — биссектриса, и она делит угол ABC пополам. Утверждение ∠BAD = ∠CAD относится к биссектрисе AD, но в условии сказано, что AD — медиана. Если AD является и биссектрисой, то треугольник ABC равнобедренный. Утверждение ∠BAD = ∠CAD верно, если AD — биссектриса, а не медиана.
• 4) ∠ABE = ∠CBE. Это верно, так как BE — биссектриса угла ABC, и по определению делит его на два равных угла.
• 5) ∠CKB = 90°. Это верно, так как CK — высота, и по определению высота перпендикулярна к стороне BC, образуя прямой угол.
• 6) ∠BEC = 90°. Утверждение ∠BEC = 90° верно, если BE является высотой, а не биссектрисой. В общем случае это не так.

Ответ: 2, 4, 5.