№ 2. В треугольнике ABC провели медиану BM. Оказалось, что сумма углов A и C равна углу ABM. Найдите отношение медианы BM к стороне BC.

Пусть ∠A = α, ∠C = γ. По условию ∠ABM = α + γ. Так как ∠B = 180° − α − γ, то ∠MBC = ∠B − ∠ABM = 180° − 2(α + γ).

В треугольнике ABM третий угол равен ∠AMB = 180° − α − (α + γ) = 180° − 2α − γ.

Поскольку M — середина AC, AM = AC/2. По теореме синусов в треугольнике ABM:

BM/AM = sin α/sin(α + γ), откуда BM = (AC/2) · sin α/sin(α + γ).

В треугольнике ABC ∠B = 180° − (α + γ), поэтому sin B = sin(α + γ). По теореме синусов BC = AC · sin α/sin(α + γ).

Следовательно, BM = BC/2.

Ответ: BM:BC = 1:2.