Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. В треугольнике ABC угол C — прямой, BC = 3, AC = 4, и проведены биссектриса CD и медиана AM. Найти площадь треугольника…Фото задания

Ответ:

Обозначим через E точку пересечения биссектрисы CD и медианы AM — это следует из обозначения E в искомом треугольнике.

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, его площадь равна 9 · 3 · 4 = 6. Удобнее вычислить искомую площадь через координаты: положим C = (0, 0), A = (4, 0), B = (0, 3).

  1. Так как CD — биссектриса прямого угла C, она делит его пополам. Поэтому её уравнение: y = x.
  2. M — середина BC, следовательно, M = (0, 3/2). Прямая AM проходит через A = (4, 0) и M = (0, 3/2), поэтому её уравнение: y = 3/2 − 3x/8.
  3. В точке E уравнения прямых равны: x = 3/2 − 3x/8. Отсюда 11x/8 = 3/2, значит, x = y = 12/11. Следовательно, E = (12/11, 12/11).
  4. Возьмём CM за основание треугольника CEM: CM = 3/2. Расстояние от E до прямой CM, то есть до оси y, равно 12/11.
  5. Тогда SCEM = 1/2 · 3/2 · 12/11 = 9/11.

Ответ: 9/11 квадратных единиц.