2. В треугольнике АВС известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 45. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

В треугольнике ABC линия DE является средней линией. Это значит, что DE параллельна стороне AB и равна половине ее длины (DE = 1/2 AB).

Также средняя линия отсекает от большого треугольника ABC подобный треугольник CDE. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам (угол C общий, углы CDE и CAB равны как соответственные при параллельных DE и AB и секущей AC).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия треугольника CDE к треугольнику CAB равен отношению их соответствующих сторон, например, CD/CA. Так как DE — средняя линия, то CD = 1/2 CA. Следовательно, коэффициент подобия k = 1/2.

Тогда отношение площадей будет:

\[ \frac{\text{Площадь}(\triangle CDE)}{\text{Площадь}(\triangle CAB)} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

Нам дана площадь треугольника CDE, которая равна 45. Мы можем найти площадь треугольника ABC:

\[ \text{Площадь}(\triangle CAB) = 4 \times \text{Площадь}(\triangle CDE) \]

\[ \text{Площадь}(\triangle CAB) = 4 \times 45 \]

\[ \text{Площадь}(\triangle CAB) = 180 \]

Ответ: 180