2°. В треугольнике АВС проведены медиана AN, биссектриса BM и высота СК. Укажите номера верных утверждений:

Решение:

Рассмотрим каждое утверждение:

• 1) АК = ВК. Это утверждение верно только для равнобедренного или равностороннего треугольника, где высота, проведенная к основанию, является также и медианой. В общем случае это не так.
• 2) BN = CN. Это утверждение верно, так как BM — биссектриса, проведенная из вершины B. В общем случае биссектриса не делит противоположную сторону пополам. Медиана AN делит BC пополам (AN - медиана).
• 3) ∠ABM = ∠CBM. Это утверждение верно, так как BM — биссектриса угла B, по определению биссектрисы она делит угол пополам.
• 4) ∠ACK = ∠BCK. Это утверждение неверно. СК — высота, она перпендикулярна стороне AB (или ее продолжению). Это утверждение верно только если треугольник равнобедренный и CK является биссектрисой.
• 5) ∠AKC = 90°. Это утверждение верно, так как СК — высота, по определению высота перпендикулярна основанию, следовательно, угол, образованный высотой и основанием, равен 90°.
• 6) ∠BMC = 90°. Это утверждение верно только для равнобедренного или равностороннего треугольника, где биссектриса, проведенная к основанию, является также и высотой. В общем случае это не так.

Ответ: 3, 5