2. В треугольнике АВС угол А меньше угла В в три раза, а внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине В на 40°. Найти внутренние углы треугольника АВС.

Решение:

Пусть \( \triangle ABC \) — данный треугольник.

Обозначим внутренние углы треугольника как \( \beta \) (угол \( B \)) и \( \frac{\beta}{3} \) (угол \( A \)), так как угол \( A \) в три раза меньше угла \( B \).

Внешний угол при вершине \( A \) равен \( 180^{\circ} - \text{угол } A \) = \( 180^{\circ} - \frac{\beta}{3} \).

Внешний угол при вершине \( B \) равен \( 180^{\circ} - \text{угол } B \) = \( 180^{\circ} - \beta \).

По условию, внешний угол при вершине \( A \) больше внешнего угла при вершине \( B \) на \( 40^{\circ} \). Составим уравнение:

\[ (180^{\circ} - \frac{\beta}{3}) - (180^{\circ} - \beta) = 40^{\circ} \]

Раскроем скобки:

\[ 180^{\circ} - \frac{\beta}{3} - 180^{\circ} + \beta = 40^{\circ} \]

Упростим:

\[ \beta - \frac{\beta}{3} = 40^{\circ} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{3\beta - \beta}{3} = 40^{\circ} \]

\[ \frac{2\beta}{3} = 40^{\circ} \]

Выразим \( \beta \):

\[ \beta = \frac{40^{\circ} \times 3}{2} = 20^{\circ} \times 3 = 60^{\circ} \]

Итак, угол \( B = 60^{\circ} \).

Угол \( A = \frac{\beta}{3} = \frac{60^{\circ}}{3} = 20^{\circ} \).

Найдём угол \( C \), зная, что сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \):

\[ \text{Угол } C = 180^{\circ} - (\text{Угол } A + \text{Угол } B) \]

\[ \text{Угол } C = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \]

Проверим условие с внешними углами:

Внешний угол при \( A \) = \( 180^{\circ} - 20^{\circ} = 160^{\circ} \).

Внешний угол при \( B \) = \( 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Разница = \( 160^{\circ} - 120^{\circ} = 40^{\circ} \). Условие выполняется.

Ответ: Углы треугольника АВС равны: Угол A = 20°, Угол B = 60°, Угол C = 100°.