2) В треугольнике \(ETF\) проведена медиана \(ST\). Известно, что \(ES = SF\), \(\angle ETS = 34^{\circ}\). Найдите \(\angle ETF\).

Решение:

По условию, \(ES = SF\) и \(ST\) — медиана. Это означает, что \(S\) — середина стороны \(EF\). В треугольнике \(ETF\), \(ST\) является медианой, проведённой к стороне \(EF\).

Также из рисунка видно, что \(ES\) и \(SF\) перпендикулярны сторонам \(ET\) и \(FT\) соответственно, то есть \(ES\) и \(SF\) являются высотами, проведёнными из точек \(E\) и \(F\) на сторону \(ST\) (или её продолжение). Однако, условие задачи гласит, что \(ES\) и \(SF\) — это отрезки, и \(ES = SF\).

Если \(ES = SF\) и \(ST\) — медиана, то \(S\) — середина \(EF\). Из рисунка видно, что \(ES \perp ET\) и \(SF \perp FT\). Это означает, что \(ETSF\) — четырёхугольник, в котором \(ES\) и \(SF\) являются высотами из \(E\) и \(F\) на \(ST\) (или продолжение \(ST\)).

Если \(\angle ETS = 34^{\circ}\), и \(ST\) — медиана, то в треугольнике \(ETF\), \(ST\) делит сторону \(EF\) пополам.

Рассмотрим треугольники \(ETS\) и \(SFT\). В них \(ES = SF\) (по условию), \(ST\) — общая сторона, и \(\angle EST = \angle FST = 90^{\circ}\) (по рисунку, угольники обозначают прямые углы).

По двум катетам и общей гипотенузе (если бы \(ST\) была гипотенузой), или по двум сторонам и углу между ними, мы можем доказать равенство треугольников. Здесь у нас есть два прямоугольных треугольника \(ETS\) и \(SFT\), где \(ES\) и \(SF\) — катеты, и \(ST\) — гипотенуза. Если \(ES = SF\) (катеты равны), то треугольники \(ETS\) и \(SFT\) равны по первому признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам).

Из равенства треугольников \(ETS\) и \(SFT\) следует, что \(\angle ETS = \angle FTS\).

По условию \(\angle ETS = 34^{\circ}\). Следовательно, \(\angle FTS = 34^{\circ}\).

Угол \(\angle ETF\) является суммой углов \(\angle ETS\) и \(\angle FTS\).

\(\angle ETF = \angle ETS + \angle FTS = 34^{\circ} + 34^{\circ} = 68^{\circ}\).

Ответ: \(\angle ETF = 68^{\circ}\).