2. В треугольнике FCD стороны FD и CD равны, DK — медиана. Известно, что CF = 18 см, ∠CDF = 72°. Найдите ∠CKD, ∠FDK и длину отрезка FK.

Решение:

В треугольнике FCD стороны FD и CD равны, значит, треугольник FCD — равнобедренный. DK — медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также биссектрисой и высотой.

1. Так как DK — медиана, точка K делит сторону CF пополам. Значит, FK = KC = \( \frac{18}{2} \) = 9 см.
2. Так как DK — биссектриса угла ∠FDC, она делит угол пополам: \( \angle FDK = \angle CDK = \frac{\angle FDC}{2} \).
3. Угол ∠FDC равен 72°, следовательно, \( \angle FDK = \angle CDK = \frac{72°}{2} = 36° \).
4. Так как DK — высота, она перпендикулярна основанию CF. Значит, \( \angle DKC = 90° \).
5. В треугольнике CKD: \( \angle CKD = 180° - \angle KCD - \angle CDK \). Угол ∠KCD равен 90°, так как CF является основанием, к которому проведена высота DK.
6. \( \angle CKD = 180° - 90° - 36° = 54° \).

Ответ: \( \angle CKD = 54° \), \( \angle FDK = 36° \), FK = 9 см.