2. В треугольнике KLM известно: KL=12, ∠K=30°, ∠L=105°. Найдите сторону LM и радиус описанной окружности.

Найдём третий угол: \(\angle M=180^\circ-30^\circ-105^\circ=45^\circ\).

По теореме синусов, сторона KL лежит напротив угла M, а LM — напротив угла K:

\(\frac{LM}{\sin30^\circ}=\frac{KL}{\sin45^\circ}\), поэтому \(LM=12\cdot\frac{\sin30^\circ}{\sin45^\circ}=12\cdot\frac{1/2}{\sqrt2/2}=6\sqrt2\).

Для радиуса описанной окружности используем формулу \(\frac{KL}{\sin M}=2R\):

\(R=\frac{12}{2\sin45^\circ}=\frac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2\).

Ответ: \(LM=6\sqrt2\), \(R=6\sqrt2\).