№2. В треугольнике KPT стороны KP = 11 см, PT = 12 см, KT = 13 см. Найти длину медианы PO.

Поскольку PO — медиана к стороне KT, точка O — её середина. Значит, \(KO=OT=\frac{13}{2}\) см.

По теореме Аполлония:

\(KP^2+PT^2=2\left(PO^2+KO^2\right)\).

Подставим значения: \(11^2+12^2=2\left(PO^2+\left(\frac{13}{2}\right)^2\right)\).

\(265=2PO^2+\frac{169}{2}\), откуда \(2PO^2=\frac{361}{2}\), а \(PO^2=\frac{361}{4}\).

Следовательно, \(PO=\frac{19}{2}=9.5\) см.

Ответ: 9,5 см.