2. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

Решение:

Всего деталей: \( 10 \).

Стандартных деталей: \( 4 \).

Нестандартных деталей: \( 10 - 4 = 6 \).

Выбрано деталей: \( 3 \).

Проще найти вероятность противоположного события: что все 3 выбранные детали окажутся нестандартными. Затем вычесть эту вероятность из 1.

Общее число способов выбрать 3 детали из 10:

\[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 \]

Число способов выбрать 3 нестандартные детали из 6:

\[ C_{6}^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20 \]

Вероятность того, что все 3 детали нестандартные:

\[ P(\text{все 3 нестандартные}) = \frac{C_{6}^3}{C_{10}^3} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} \]

Вероятность того, что хотя бы одна деталь стандартная, равна 1 минус вероятность того, что все детали нестандартные:

\[ P(\text{хотя бы одна стандартная}) = 1 - P(\text{все 3 нестандартные}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]

Ответ: \( \frac{5}{6} \).