2 вариант. 1. Найти НОД и НОК чисел: А) 45 и 65; Б) 72 и 90; В) 200 и 300; Г) 975 и 750. 2. Докажите, что числа 945 и 572 взаимно простые.

1. Найдём НОД и НОК.

1. 45 и 65: \(45=3^2\cdot5\), \(65=5\cdot13\). Поэтому \(\mathrm{НОД}=5\), \(\mathrm{НОК}=3^2\cdot5\cdot13=585\).
2. 72 и 90: \(72=2^3\cdot3^2\), \(90=2\cdot3^2\cdot5\). Поэтому \(\mathrm{НОД}=2\cdot3^2=18\), \(\mathrm{НОК}=2^3\cdot3^2\cdot5=360\).
3. 200 и 300: \(200=2^3\cdot5^2\), \(300=2^2\cdot3\cdot5^2\). Поэтому \(\mathrm{НОД}=2^2\cdot5^2=100\), \(\mathrm{НОК}=2^3\cdot3\cdot5^2=600\).
4. 975 и 750: \(975=3\cdot5^2\cdot13\), \(750=2\cdot3\cdot5^3\). Поэтому \(\mathrm{НОД}=3\cdot5=15\), \(\mathrm{НОК}=2\cdot3\cdot5^3\cdot13=48750\).

2. Доказательство: разложим числа на простые множители: \(945=3^3\cdot5\cdot7\), \(572=2^2\cdot11\cdot13\). Общих простых множителей нет, значит, \(\mathrm{НОД}(945,572)=1\). Следовательно, числа 945 и 572 взаимно простые.

Ответ: А) НОД 5, НОК 585; Б) НОД 18, НОК 360; В) НОД 100, НОК 600; Г) НОД 15, НОК 48750. Числа 945 и 572 взаимно простые.