2 вариант. 1) Найти площадь треугольника со сторонами 7 см, 8 см и 9 см. 2) Найти площадь выпуклого четырёхугольника, если его диагонали 6 см и 8 см, а угол между ними 60°. 3) Две стороны треугольника равны 5 см и 6 см, угол между ними 45°. Найти третью сторону треугольника и его площадь. 4) В треугольнике ABC BC = 15,2 см, ∠B = 80°, ∠C = 25°. Вычислить AB. 5) Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найти наименьшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей. 6) (дополн.) Острый угол ромба равен 60°, а его площадь равна [числовые данные обрезаны] см². Найти сторону ромба. 7) (дополн.) Найти площадь равнобедренного треугольника с боковой стороной 6 см и углом при основании 15°.

Полупериметр: \(p=(7+8+9)/2=12\) см. По формуле Герона: \(S=\sqrt{12\cdot5\cdot4\cdot3}=12\sqrt5\) см².

\(S=\frac12 d_1d_2\sin60^\circ=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3\) см².

По теореме косинусов: \(c^2=5^2+6^2-2\cdot5\cdot6\cos45^\circ=61-30\sqrt2\), поэтому \(c=\sqrt{61-30\sqrt2}\) см.

Площадь: \(S=\frac12\cdot5\cdot6\sin45^\circ=\frac{15\sqrt2}{2}\) см².

\(\angle A=180^\circ-80^\circ-25^\circ=75^\circ\). По теореме синусов: \(AB=BC\cdot\frac{\sin25^\circ}{\sin75^\circ}=15.2\cdot\frac{\sin25^\circ}{\sin75^\circ}\approx6.64\) см.

Полупериметр: \(p=(9+10+17)/2=18\) см. Площадь: \(S=\sqrt{18\cdot9\cdot8\cdot1}=36\) см². Наименьшая высота опущена на наибольшую сторону 17 см: \(h=2S/17=72/17\approx4.24\) см.

Радиус вписанной окружности: \(r=S/p=36/18=2\) см. Радиус описанной окружности: \(R=9\cdot10\cdot17/(4\cdot36)=85/8=10.625\) см.

Пусть площадь ромба равна \(S\) см², а сторона — \(a\). Из формулы \(S=a^2\sin60^\circ\) получаем \(a=\sqrt{S/\sin60^\circ}=\sqrt{2S/\sqrt3}\) см. Числовой результат определить нельзя: значение площади на изображении обрезано. Пришлите фрагмент с этим числом.

Угол между боковыми сторонами равен \(180^\circ-2\cdot15^\circ=150^\circ\). Площадь: \(S=\frac12\cdot6\cdot6\sin150^\circ=9\) см².