2 вариант: 1. Найти стационарные точки функции: f(x) = 5x³ - 22,5x² - 60x + 4 2. Найти экстремумы функции: f(x) = 1,5x⁴ - 2x³ -36x²+5 №3. Найти интервалы возрастания и убывания функции: f(x) = 2x³ - 3x² - 12x - 17 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [-2; -3], если f(x) = 12x - x³ - 2. 5. Построить график функции f(x) = x³ - 2x² + x − 1

2 вариант:

1. Стационарные точки

   Найдем производную:

   f'(x) = 15x² - 45x - 60

   Приравняем к нулю:

   15x² - 45x - 60 = 0

   x² - 3x - 4 = 0

   D = (-3)² - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25

   x₁ = (3 + 5)/2 = 4

   x₂ = (3 - 5)/2 = -1

   Ответ: x = 4, x = -1

2. Экстремумы функции

   Найдем производную:

   f'(x) = 6x³ - 6x² - 72x

   Приравняем к нулю:

   6x³ - 6x² - 72x = 0

   6x(x² - x - 12) = 0

   x₁ = 0

   x² - x - 12 = 0

   D = (-1)² - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49

   x₂ = (1 + 7)/2 = 4

   x₃ = (1 - 7)/2 = -3

   Исследуем знаки производной:

   • При x < -3: f'(x) < 0 (убывает)
   • При -3 < x < 0: f'(x) > 0 (возрастает)
   • При 0 < x < 4: f'(x) < 0 (убывает)
   • При x > 4: f'(x) > 0 (возрастает)

   Экстремумы:

   • x = -3 (минимум)
   • x = 0 (максимум)
   • x = 4 (минимум)

   Ответ: Минимумы в x = -3 и x = 4, максимум в x = 0.

3. Интервалы возрастания и убывания

   Найдем производную:

   f'(x) = 6x² - 6x - 12

   Приравняем к нулю:

   6x² - 6x - 12 = 0

   x² - x - 2 = 0

   D = (-1)² - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9

   x₁ = (1 + 3)/2 = 2

   x₂ = (1 - 3)/2 = -1

   Исследуем знаки производной:

   • При x < -1: f'(x) > 0 (возрастает)
   • При -1 < x < 2: f'(x) < 0 (убывает)
   • При x > 2: f'(x) > 0 (возрастает)

   Ответ: Возрастает на (-∞; -1] ∪ [2; +∞), убывает на [-1; 2].

4. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-2; -3]

   На заданном отрезке [-2; -3] функция f(x) = 12x - x³ - 2 является убывающей, так как ее производная f'(x) = 12 - 3x² отрицательна на этом интервале (например, при x=-2,5, f'(-2.5) = 12 - 3(6.25) = 12 - 18.75 = -6.75 < 0). Следовательно, наибольшее значение будет на левом конце отрезка, а наименьшее - на правом.

   f(-2) = 12(-2) - (-2)³ - 2 = -24 - (-8) - 2 = -24 + 8 - 2 = -18

   f(-3) = 12(-3) - (-3)³ - 2 = -36 - (-27) - 2 = -36 + 27 - 2 = -11

   Ответ: Наибольшее значение = -11, наименьшее значение = -18.

5. Построить график функции f(x) = x³ - 2x² + x − 1

   Найдем производную:

   f'(x) = 3x² - 4x + 1

   Приравняем к нулю:

   3x² - 4x + 1 = 0

   D = (-4)² - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4

   x₁ = (4 + 2)/6 = 1

   x₂ = (4 - 2)/6 = 1/3

   f(1) = 1³ - 2(1)² + 1 - 1 = 1 - 2 + 1 - 1 = -1

   f(1/3) = (1/3)³ - 2(1/3)² + 1/3 - 1 = 1/27 - 2/9 + 1/3 - 1 = (1 - 6 + 9 - 27)/27 = -23/27

   Исследуем знаки производной:

   • При x < 1/3: f'(x) > 0 (возрастает)
   • При 1/3 < x < 1: f'(x) < 0 (убывает)
   • При x > 1: f'(x) > 0 (возрастает)

   Точка (1/3, -23/27) - максимум. Точка (1, -1) - минимум.

   График не может быть построен в текстовом формате.