2 вариант. 1. Найти стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 54 см, а сторона AB больше BC в 2 раза. 2. Найти углы параллелограмма ABCD, если известно, что угол A меньше угла B на 40°. 3. Найти углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 120°. 4. Найти диагонали прямоугольника ABCD, если ∠ABD = 30°, AD = 6 см. 5. В ромбе MNPK с тупым углом K диагонали пересекаются в точке O. Один из углов треугольника PKO равен 30°. Найти углы ромба.

Пусть BC = x см, тогда AB = 2x см. Из периметра 2(AB + BC) = 54 получаем AB + BC = 27.

2x + x = 27; 3x = 27; x = 9. Значит, BC = AD = 9 см, AB = CD = 18 см.

Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°. Пусть ∠A = x°, тогда ∠B = x + 40°.

x + x + 40° = 180°; 2x = 140°; x = 70°. Значит, ∠A = ∠C = 70°, ∠B = ∠D = 110°.

В прямоугольной трапеции два угла прямые, то есть по 90°. Два остальных угла при боковой стороне в сумме дают 180°. Если больший угол равен 120°, то другой равен 60°.

Ответ: 90°, 90°, 120°, 60°.

Треугольник ABD прямоугольный, ∠ADB = 90°. Сторона AD = 6 см лежит напротив угла ∠ABD = 30°.

sin 30° = AD / BD, поэтому BD = 6 / 0,5 = 12 см. Диагонали прямоугольника равны, значит, AC = BD = 12 см.

В ромбе диагональ делит углы при своих концах пополам, а диагонали перпендикулярны. Угол треугольника PKO при O равен 90°, поэтому угол 30° не может быть углом при O. Угол при K — половина тупого угла K, поэтому он больше 45° и также не равен 30°. Следовательно, ∠KPO = 30°. Тогда весь угол P равен 60°, а противоположный ему угол M тоже равен 60°. Соседние углы K и N равны 180° − 60° = 120°.

Ответ: ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠K = 120°.