2 вариант. 1) Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, на 22° меньше другого. Найдите все образовавшиеся углы. 2) Один из смежных углов в четыре раза меньше другого. Найдите все углы. 3) Прямые MN и PK пересекаются в точке E. EC — биссектриса угла MED, ∠CEK = 137°. Найдите ∠KEM. 4) Сумма двух вертикальных углов равна 140°. Найти все углы.

При пересечении прямых вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180°. Пусть меньший угол равен x°, больший — x° + 22°. Они смежные, поэтому:

\(x + (x + 22) = 180\), откуда \(2x = 158\), \(x = 79\).

Больший угол: \(79 + 22 = 101°\). Вертикальные им углы равны соответственно.

Ответ: 79°, 101°, 79°, 101°.

Пусть меньший угол равен x°, тогда больший — 4x°. Смежные углы в сумме дают 180°:

\(x + 4x = 180\), поэтому \(x = 36\). Больший угол равен \(4 · 36 = 144°\).

Ответ: 36°, 144°, 36°, 144°.

Так как MN и PK — прямые, лучи EM и EN противоположны, как и лучи EP и EK. Следовательно, ∠CEK и ∠CEM — смежные:

\(\angle CEM = 180° - 137° = 43°\).

EC — биссектриса ∠MED, значит \(\angle CEM = \angle DEC = 43°\), а \(\angle MED = 86°\). Угол ∠KEM смежный с ∠MED, поэтому:

\(\angle KEM = 180° - 86° = 94°\).

Ответ: 94°.

Вертикальные углы равны. Если сумма двух вертикальных углов равна 140°, каждый из них равен \(140° : 2 = 70°\). Два остальных угла смежны с ними и равны \(180° - 70° = 110°\).

Ответ: 70°, 110°, 70°, 110°.