2 вариант. 1. Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую DE; б) прямую, по которой пересекаются плоскости AEF и SBC; в) плоскости, которые пересекает прямая SB. 2. Прямые a, b и c имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте. 3. Плоскости α и β пересекаются по прямой c. Прямая a лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Каково взаимное расположение прямых a и c?

1.

а) Прямая DE лежит в плоскостях SDE и DEF: точка D лежит на SA, точка E — на SC, а точки A, S, B, C образуют изображённую пирамиду; по рисунку D и E — точки на рёбрах SA и SC. Также DE входит в грань SAC, поэтому одной из плоскостей, содержащих DE, является SAC. Однако плоскость DEF по рисунку определить нельзя: точка F лежит на BC, и D, E, F задают плоскость DEF, содержащую DE. Вторая названная плоскость не обязана быть единственной.

С учётом обозначений рисунка: DE лежит в плоскости SAC, поскольку D ∈ SA и E ∈ SC, и в плоскости DEF.

б) Плоскости AEF и SBC пересекаются по прямой EF? Точка F лежит на BC, но E лежит на SC; прямая EF принадлежит плоскости AEF, однако для принадлежности плоскости SBC точка E также должна принадлежать SBC. Так как E ∈ SC, это верно. Следовательно, общая прямая — EF.

в) Прямая SB лежит в плоскости SAB и плоскости SBC. Она также пересекает плоскость AEF в точке, где SB пересекает AEF; на рисунке такого пересечения отдельно не обозначено. По рисунку плоскости SAB и SBC содержат всю прямую SB.

Ответ: а) SAC и DEF; б) EF; в) SAB и SBC.

2. Нет, это не обязательно. Например, три прямые могут проходить через одну точку, но иметь направления, не принадлежащие одной плоскости. В одной плоскости они лежат, если их направления (или сами прямые) совместно расположены в некоторой плоскости; одной общей точки для этого недостаточно.

3. Прямые a и c пересекаются. Обе лежат в плоскости α. Поскольку a пересекает плоскость β, а α и β имеют общей линией c, точка пересечения a с β принадлежит одновременно α и β, а значит, лежит на c. Если бы a совпадала с c, она целиком лежала бы в β, что противоречит условию о пересечении плоскости β в обычном смысле задачи. Следовательно, a пересекает c.

Ответ: прямые a и c пересекаются.