2 вариант. №1. При пересечении двух прямых один из углов равен 111º. Найти остальные углы. №2. Один из смежных углов не 45º меньше другого. Найдите эти углы. №3. Один из углов, при пересечении двух, прямых в 9 раз больше другого. Найдите градусную меру этих углов. №4. Найдите градусную меру угла, образованного биссектрисами двух смежных углов, один из которых равен 70º.

Решение:

1. №1. При пересечении двух прямых один из углов равен 111º. Найти остальные углы.

   При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов и две пары смежных углов. Вертикальные углы равны. Смежные углы в сумме дают 180º.

   Пусть один угол равен \( α = 111^\circ \).

   Вертикальный ему угол также равен \( 111^\circ \).

   Смежный с ним угол \( β = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \).

   Вертикальный ему угол также равен \( 69^\circ \).

   Ответ: 111º, 69º, 69º.

2. №2. Один из смежных углов не 45º меньше другого. Найдите эти углы.

   Пусть один смежный угол равен \( x \). Тогда другой смежный угол равен \( x - 45^\circ \).

   Сумма смежных углов равна 180º:

   \[ x + (x - 45^\circ) = 180^\circ \]

   \[ 2x - 45^\circ = 180^\circ \]

   \[ 2x = 180^\circ + 45^\circ \]

   \[ 2x = 225^\circ \]

   \[ x = \frac{225^\circ}{2} = 112.5^\circ \]

   Тогда второй угол равен \( 112.5^\circ - 45^\circ = 67.5^\circ \).

   Проверка: \( 112.5^\circ + 67.5^\circ = 180^\circ \).

   Ответ: 112.5º и 67.5º.

3. №3. Один из углов, при пересечении двух, прямых в 9 раз больше другого. Найдите градусную меру этих углов.

   Пусть один угол равен \( x \). Тогда другой смежный угол равен \( 9x \).

   Сумма смежных углов равна 180º:

   \[ x + 9x = 180^\circ \]

   \[ 10x = 180^\circ \]

   \[ x = \frac{180^\circ}{10} = 18^\circ \]

   Тогда второй угол равен \( 9 × 18^\circ = 162^\circ \).

   Ответ: 18º и 162º.

4. №4. Найдите градусную меру угла, образованного биссектрисами двух смежных углов, один из которых равен 70º.

   Пусть два смежных угла равны \( α \) и \( β \). Из условия \( α = 70^\circ \). Так как углы смежные, то \( β = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

   Биссектриса делит угол пополам. Пусть \( OC \) — биссектриса угла \( α \), а \( OD \) — биссектриса угла \( β \). Угол между биссектрисами \( < COD \) будет равен:

   \[ < COD = < COA + < AOD \]

   Угол между биссектрисами будет равен половине суммы смежных углов, то есть:

   \[ < COD = \frac{α}{2} + \frac{β}{2} = \frac{70^\circ}{2} + \frac{110^\circ}{2} = 35^\circ + 55^\circ = 90^\circ \]

   Ответ: 90º.