2 вариант. 1) Решите уравнения: а) $2^{x^2-3x}=\frac14$; б) $\left(\frac34\right)^{x-1}=\left(\frac43\right)^3$; в) $9^x+3^{x+1}-4=0$; г) $7^{x+1}\cdot2^x=98$. 2) Решите неравенства: а) $7^{3-x}<\frac1{49}$; б) $\left(\frac15\right)^{2x^2-3x}\ge5$; в) $7^{x+2}-14\cdot7^x>5$; г) $5^{5+4x}-15\cdot\left(\frac14\right)^{3+4x}+8\le0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2 вариант. 1) Решите уравнения: а) $2^{x^2-3x}=\frac14$; б) $\left(\frac34\right)^{x-1}=\left(\frac43\right)^3$; в)…$ Фото задания

2 вариант. 1) Решите уравнения: а) $2^{x^2-3x}=\frac14$; б) $\left(\frac34\right)^{x-1}=\left(\frac43\right)^3$; в) $9^x+3^{x+1}-4=0$; г) $7^{x+1}\cdot2^x=98$. 2) Решите неравенства: а) $7^{3-x}<\frac1{49}$; б) $\left(\frac15\right)^{2x^2-3x}\ge5$; в) $7^{x+2}-14\cdot7^x>5$; г) $5^{5+4x}-15\cdot\left(\frac14\right)^{3+4x}+8\le0$.

Accepted Answer

1) Уравнения

а) $\frac14=2^{-2}$, поэтому $x^2-3x=-2$. Получаем $(x-1)(x-2)=0$, откуда $x=1$ или $x=2$.
б) $\left(\frac43\right)^3=\left(\frac34\right)^{-3}$. Следовательно, $x-1=-3$, откуда $x=-2$.
в) Пусть $t=3^x>0$. Тогда $t^2+3t-4=0$, то есть $(t+4)(t-1)=0$. Из условия $t>0$ следует $t=1$, поэтому $x=0$.
г) $7^{x+1}\cdot2^x=7\cdot14^x=98$. Значит, $14^x=14$, откуда $x=1$.

2) Неравенства

а) $\frac1{49}=7^{-2}$. Так как основание 7 больше 1, $3-x<-2$, откуда $x>5$.
б) Правая часть равна $5^{-1}$, а левая — $5^{-(2x^2-3x)}$. Поэтому $-(2x^2-3x)\ge-1$, или $2x^2-3x+1\le0$. Разложение: $(2x-1)(x-1)\le0$, значит, $x\in\left[\frac12;1\right]$.
в) $7^{x+2}-14\cdot7^x=(49-14)7^x=35\cdot7^x$. Тогда $35\cdot7^x>5$, то есть $7^x>\frac17=7^{-1}$, откуда $x>-1$.
г) Левая часть строго возрастает как функция $x$: слагаемое $5^{5+4x}$ возрастает, а $-15\cdot(1/4)^{3+4x}$ тоже возрастает. Уравнение, соответствующее границе решения, имеет единственный корень $\alpha\approx-0.835$. Следовательно, неравенство выполняется при $x\le\alpha$. Корень можно задать точно как единственное решение уравнения $5^{5+4\alpha}-15\cdot(1/4)^{3+4\alpha}+8=0$.

Ответ: 1) а) $x=1,2$; б) $x=-2$; в) $x=0$; г) $x=1$. 2) а) $(5;+\infty)$; б) $\left[\frac12;1\right]$; в) $(-1;+\infty)$; г) $( -\infty;\alpha]$, где $\alpha\approx-0.835$ — единственный корень указанного уравнения.