2 вариант. 1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а высота, проведённая к основанию, — 5 см. Найдите площадь этого треугольника. 2. В параллелограмме ABCD AB = 8 см, AD = 10 см, ∠A = 30°. Найдите площадь параллелограмма. 3. В прямоугольной трапеции ABCD боковая сторона равна AB = 10 см, большее основание AD = 18 см, ∠C = 45°. Найдите площадь трапеции. 4. В треугольнике ABC со сторонами AC = 12 см и AB = 18 см проведена прямая MN, параллельная AC, MN = 9 см. Найдите BM. 5. Дан прямоугольный треугольник ADC, у которого D — прямой угол, катет AD = 3 см и ∠DAC = 30°. Найдите: а) остальные стороны ΔADC; б) площадь ΔADC; в) длину высоты, проведённой к гипотенузе.

1. Высота к основанию делит его пополам. Половина основания равна \(\sqrt{13^2-5^2}=12\) см, значит, основание равно 24 см.

\(S=\frac12\cdot24\cdot5=60\) см².

Ответ: 60 см².

2. Площадь параллелограмма: \(S=AB\cdot AD\cdot\sin A\).

\(S=8\cdot10\cdot\sin30^\circ=80\cdot\frac12=40\) см².

Ответ: 40 см².

3. В прямоугольной трапеции AB — высота, поэтому \(h=10\) см. Так как \(\angle C=45^\circ\), горизонтальная разность оснований равна высоте: меньшее основание равно \(18-10=8\) см.

\(S=\frac{18+8}{2}\cdot10=130\) см².

Ответ: 130 см².

4. По подобию треугольников BMN и BAC: \(\frac{BM}{BA}=\frac{MN}{AC}\). Следовательно, \(BM=18\cdot\frac{9}{12}=13.5\) см.

Ответ: 13,5 см.

5. В прямоугольном треугольнике \(\angle C=60^\circ\), а \(AD=3\) см лежит напротив этого угла.

а) \(AC=\frac{AD}{\sin60^\circ}=2\sqrt3\) см; \(DC=\frac{AD}{\tan60^\circ}=\sqrt3\) см.

б) \(S=\frac12\cdot AD\cdot DC=\frac12\cdot3\cdot\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}\) см².

в) Обозначим высоту к гипотенузе через \(DH\). Из равенства площадей \(\frac12 AD\cdot DC=\frac12 AC\cdot DH\):

\(DH=\frac{AD\cdot DC}{AC}=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt3}=1.5\) см.

Ответ: а) AC = 2√3 см, DC = √3 см; б) 3√3/2 см²; в) 1,5 см.