2 вариант. 1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, высота, проведённая к основанию, — 5 см. Найдите площадь этого треугольника. 2. В параллелограмме ABCD AB = 8 см, AD = 10 см, ∠A = 30°. Найдите площадь параллелограмма. 3. В прямоугольной трапеции ABCD боковая сторона AB = 10 см, большее основание AD = 18 см, ∠C = 45°. Найдите площадь трапеции. 4. В треугольнике ABC со сторонами AC = 12 см и AB = 18 см проведена прямая MN, параллельная AC, MN = 9 см. Найдите BM. 5. Дан прямоугольный треугольник ADC, у которого D — прямой угол, катет AD = 3 см и ∠DAC = 30°. Найдите: а) остальные стороны ΔADC; б) площадь ΔADC; в) длину высоты, проведённой к гипотенузе.

Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам. Половина основания равна \(\sqrt{13^2-5^2}=12\) см, значит, основание равно 24 см. Площадь: \(S=\frac12\cdot24\cdot5=60\) см².

\(S=AB\cdot AD\cdot\sin A=8\cdot10\cdot\sin30^\circ=40\) см².

В условии недостаточно данных: указаны прямой угол трапеции, боковая сторона AB = 10 см, большее основание AD = 18 см и ∠C = 45°, но не сообщено, какая именно боковая сторона AB и как расположены вершины прямоугольной трапеции относительно оснований. При обычной нумерации прямоугольной трапеции ABCD, где AB — перпендикулярная основаниям боковая сторона, условие противоречиво: тогда угол B прямой, а AB не может одновременно быть боковой стороной длиной 10 см и служить горизонтальным сдвигом, определяемым углом C. Нужен полный текст или рисунок к задаче.

Поскольку \(MN\parallel AC\), треугольники BMN и BAC подобны. \(\frac{BM}{BA}=\frac{MN}{AC}=\frac{9}{12}=\frac34\), поэтому \(BM=18\cdot\frac34=13.5\) см.

а) \(\tan30^\circ=\frac{DC}{AD}\), значит, \(DC=3\tan30^\circ=\sqrt3\) см. Гипотенуза \(AC=\frac{AD}{\cos30^\circ}=2\sqrt3\) см.

б) \(S=\frac12\cdot AD\cdot DC=\frac12\cdot3\cdot\sqrt3=\frac{3\sqrt3}{2}\) см².

в) Если h — высота к гипотенузе, то \(\frac12 AC\cdot h=S\). Отсюда \(h=\frac{2S}{AC}=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt3}=1.5\) см.