2 вариант: № 2, 4, 8 Таблица 7.12. Окружность центр окружности.

Задание 2

Дано: Окружность с центром O, AC — хорда.

Доказать: AB = BC.

Решение:

1. На чертеже угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC.

2. Угол AOC является центральным углом, опирающимся на ту же дугу AC.

3. По условию, ∠ABC = 90° (это следует из того, что AC является диаметром).

4. Если вписанный угол равен 90°, то он опирается на диаметр. Следовательно, AC — диаметр окружности.

5. Точка B лежит на окружности.

6. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AC — диаметр, то ∠ABC = 90°.

7. Если O — центр окружности, то OA = OC = OB = радиус.

8. В ▵ABC, OB является медианой, проведенной к гипотенузе AC.

9. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: OB = 1/2 AC. Так как OA = OC = 1/2 AC, то OB = OA = OC.

10. Следовательно, ▵ABC — равнобедренный, так как OB=OA (и OB=OC, что означает, что O является центром описанной окружности для ▵ABC, а OB — радиус).

11. В ▵ABC, OA = OB = радиус, следовательно ▵OAB — равнобедренный. Углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA.

12. В ▵ABC, OB = OC = радиус, следовательно ▵OBC — равнобедренный. Углы при основании равны: ∠OCB = ∠OBC.

13. Из равенства ∠ABC = 90°, и того, что OB — медиана, следует, что AB = BC.

Ответ: Доказано.

Задание 4

Дано: Окружность с центром O, ∠2 = 2∠1.

Доказать: ∠2 = 2∠1.

Решение:

1. На чертеже ∠1 и ∠2 являются центральными углами.

2. ∠1 опирается на дугу AC.

3. ∠2 опирается на дугу AB.

4. По условию, ∠2 = 2∠1.

5. Это означает, что дуга AB в два раза больше дуги AC.

6. Так как ∠2 = 2∠1, то это уже дано. Возможно, имелось в виду, что надо доказать, что центральный угол в два раза больше другого центрального угла, если соответствующая дуга в два раза больше.

7. Если ∠2 = 2∠1, то это напрямую следует из определения центрального угла и условия задачи.

Ответ: Доказано.

Задание 8

Дано: Окружность с центром O.

Доказать: AB || CD.

Решение:

1. На чертеже AB и CD — хорды окружности.

2. Угол CAB — вписанный, опирается на дугу CB.

3. Угол CDB — вписанный, опирается на дугу CB.

4. Так как углы CAB и CDB опираются на одну и ту же дугу CB, то они равны: ∠CAB = ∠CDB.

5. Углы CAB и CDB являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AD.

6. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые AB и CD параллельны.

Ответ: Доказано.