2. Вариант I. Через вершины A и B прямоугольника ABCD проведены параллельные прямые A₁A и B₁B, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что A₁A ⟂ AB и A₁A ⟂ AD. Найдите B₁B, если B₁D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см. Вариант II. Через вершины A и B ромба ABCD проведены параллельные прямые A₁A и B₁B, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что B₁B ⟂ BC, B₁B ⟂ AB. Найдите AA₁, если A₁C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.

Вариант I.

Диагональ прямоугольника \(BD\) равна \(\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\) см. Поскольку \(A_1A\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и AD, она перпендикулярна плоскости прямоугольника. Параллельная ей прямая \(B_1B\) также перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, треугольник \(B_1BD\) прямоугольный:

\(B_1B=\sqrt{B_1D^2-BD^2}=\sqrt{25^2-20^2}=15\) см.

Вариант II.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Поэтому половина диагонали BD равна 8 см, а половина диагонали AC находится из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба:

\(\frac{AC}{2}=\sqrt{AB^2-\left(\frac{BD}{2}\right)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\), значит, \(AC=12\) см.

Прямая \(B_1B\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и BC, поэтому перпендикулярна плоскости ромба. Поскольку \(A_1A\parallel B_1B\), отрезок \(AA_1\) также перпендикулярен этой плоскости. Тогда треугольник \(A_1AC\) прямоугольный:

\(AA_1=\sqrt{A_1C^2-AC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5\) см.

Ответ: вариант I — 15 см; вариант II — 5 см.