2. Верно ли, что:

Решение:

Проверим утверждения, исходя из свойств векторов и геометрии параллелепипеда.

а) векторы \(\vec{B_1D_1}\) и \(\vec{BD}\) коллинеарны?

Векторы \(\vec{B_1D_1}\) и \(\vec{BD}\) являются диагоналями параллельных граней параллелепипеда. Диагонали параллельных граней параллелепипеда параллельны и равны. Следовательно, эти векторы коллинеарны.

б) векторы \(\vec{A_1C_1}\) и \(\vec{C_1A_1}\) сонаправлены?

Вектор \(\vec{A_1C_1}\) направлен из точки \(A_1\) в точку \(C_1\). Вектор \(\vec{C_1A_1}\) направлен из точки \(C_1\) в точку \(A_1\). Эти векторы противоположно направлены, так как они лежат на одной прямой и имеют противоположные направления.

в) векторы \(\vec{C_1A_1}\) и \(\vec{AC}\) противоположно направлены?

Вектор \(\vec{C_1A_1}\) направлен из \(C_1\) в \(A_1\). Вектор \(\vec{AC}\) направлен из \(A\) в \(C\). Эти векторы параллельны (лежат на диагоналях параллельных граней) и имеют одинаковую длину. Однако, их направление противоположно. \(\vec{C_1A_1} = \vec{BA} = -\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) — эти векторы не параллельны в общем случае, но если рассмотреть диагонали, то \(\vec{A_1C_1}\) и \(\vec{AC}\) сонаправлены. Вектор \(\vec{C_1A_1}\) = \(\vec{BA}\) = \(\vec{DC}\). Вектор \(\vec{AC}\). Эти векторы не сонаправлены и не противоположно направлены, если только это не частный случай (например, ромб или квадрат).

Ответ: а) Да; б) Нет; в) Нет.