2. Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости? Из точки O, лежащей вне двух параллельных плоскостей α и β, проведены три луча, пересекающие плоскости α и β соответственно в точках A, B, C и A₁, B₁, C₁ (OA < OA₁). Найдите периметр A₁B₁C₁, если OA = m, AA₁ = n, AB = b, BC = a.

а) Нет. Например, пусть первая плоскость содержит две пересекающиеся прямые, а во второй плоскости выбраны две параллельные им прямые. Условия о параллельности каждой пары выполнены, но первая плоскость пересекает вторую по одной из этих прямых, поэтому плоскости не параллельны.

б) Так как O, A и A₁ лежат на одном луче и OA < OA₁, имеем OA₁ = OA + AA₁ = m + n. Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны: они получены гомотетией с центром O, коэффициент которой равен (m + n)/m.

Периметр треугольника ABC равен 2b + 2a: поскольку точки A, B и C лежат на трёх лучах, из данных AB = b и BC = a можно определить лишь две стороны, но длина AC не задана. Следовательно, по указанным данным периметр A₁B₁C₁ однозначно найти нельзя.

Недостаёт длины AC (либо дополнительных сведений о расположении лучей, позволяющих определить эту сторону). Если обозначить AC = c, то периметр искомого треугольника составляет ((m + n)/m)(a + b + c).