2. Вершины треугольника KMN имеют координаты K(−2; 3; −2), M(8; 1; 2), N(2; −3; 0). Найдите: а) координаты середины стороны KM; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла M и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой).

а) Координаты середины отрезка получаем как полусуммы координат его концов:

\(\left(\frac{-2+8}{2};\frac{3+1}{2};\frac{-2+2}{2}\right)=(3;2;0)\).

б) Найдём векторы сторон и их длины:

\(\overrightarrow{KM}=(10;−2;4)\), поэтому \(|KM|=\sqrt{10^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}\).

\(\overrightarrow{MN}=(-6;−4;−2)\), поэтому \(|MN|=\sqrt{36+16+4}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\).

\(\overrightarrow{NK}=(-4;6;−2)\), поэтому \(|NK|=\sqrt{16+36+4}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\).

Так как \(|MN|=|NK|\), треугольник KMN равнобедренный.

в) Угол M образован векторами \(\overrightarrow{MK}=(-10;2;−4)\) и \(\overrightarrow{MN}=(-6;−4;−2)\). Их скалярное произведение равно \(60−8+8=60\). Следовательно,

\(\cos M=\frac{\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{MN}}{|MK|\,|MN|}=\frac{60}{\sqrt{120}\sqrt{56}}=\frac{15}{\sqrt{420}}>0\).

Положительный косинус означает, что угол M острый.

Ответ: а) середина KM — (3; 2; 0); б) \(|KM|=2\sqrt{30}\), \(|MN|=|NK|=2\sqrt{14}\), треугольник равнобедренный; в) \(\cos M=\frac{15}{\sqrt{420}}\), угол M острый.