2. Внешний угол треугольника равен 140°, а внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 3 : 4. Найти: все внутренние углы треугольника.

Решение:

Пусть внешний угол равен \( \gamma_{внешн} = 140^{\circ} \).

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Пусть эти углы равны \( \alpha \) и \( \beta \).

\( \gamma_{внешн} = \alpha + \beta \)

\( 140^{\circ} = \alpha + \beta \)

По условию, эти углы относятся как 3:4. Пусть \( \alpha = 3x \) и \( \beta = 4x \).

\( 3x + 4x = 140^{\circ} \)

\( 7x = 140^{\circ} \)

\( x = \frac{140^{\circ}}{7} = 20^{\circ} \)

Тогда \( \alpha = 3x = 3 \cdot 20^{\circ} = 60^{\circ} \) и \( \beta = 4x = 4 \cdot 20^{\circ} = 80^{\circ} \).

Найдем третий внутренний угол \( \gamma \), смежный с внешним углом \( \gamma_{внешн} \).

\( \gamma + \gamma_{внешн} = 180^{\circ} \)

\( \gamma + 140^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \gamma = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \)

Проверка: \( \alpha + \beta + \gamma = 60^{\circ} + 80^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: углы треугольника равны \( 60^{\circ}, 80^{\circ}, 40^{\circ} \).