2. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Докажите, что данный треугольник прямоугольный.

Пусть внутренний угол треугольника — это угол \(A\), а углы при остальных вершинах — \(B\) и \(C\). Внешние углы, не смежные с \(A\), равны \(180^\circ-B\) и \(180^\circ-C\).

Их разность по величине равна \(|(180^\circ-B)-(180^\circ-C)|=|C-B|\). По условию \(A=|C-B|\). Рассмотрим два случая.

1. Если \(C>B\), то \(A=C-B\), откуда \(A+B=C\). Вместе с равенством \(A+B+C=180^\circ\) получаем \(2C=180^\circ\), значит, \(C=90^\circ\).
2. Если \(B>C\), то \(A=B-C\), откуда \(A+C=B\). Тогда \(A+B+C=180^\circ\) даёт \(2B=180^\circ\), значит, \(B=90^\circ\).

Случай \(B=C\) невозможен: тогда разность внешних углов равна нулю, а внутренний угол \(A\) треугольника положителен.

Ответ: один из углов \(B\) или \(C\) равен \(90^\circ\), поэтому треугольник прямоугольный.