2. Внутри треугольника ABC отмечена точка M, а на сторонах AB и AC — точки K и H соответственно так, что отрезки AM и KH имеют общую середину, а ∠KMH = ∠C. Докажите, что треугольник ABC является равнобедренным.

Пусть O — общая середина отрезков AM и KH. Тогда диагонали четырёхугольника AKMH пересекаются и делятся пополам. Следовательно, AKMH — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны: AK ∥ MH и AH ∥ KM. Так как K лежит на AB, а H — на AC, получаем AB ∥ MH и AC ∥ KM.

Поэтому угол KMH равен углу между прямыми AC и AB, то есть ∠KMH = ∠A. По условию ∠KMH = ∠C, значит, ∠A = ∠C.

В треугольнике ABC равным углам противолежат равные стороны: BC = AB. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.