2. Возведите в степень:

Решение:

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель по отдельности.

Исходное выражение:

\[ \left( 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} \right)^5 \]

Сначала упростим выражение внутри скобок:

\[ \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь подставим обратно:

\[ \left( 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^5 = \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \right)^5 \]

Возведём числитель и знаменатель в пятую степень:

\[ \frac{3^5}{(\sqrt{2})^5} \]

Вычислим числитель:

\[ 3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243 \]

Вычислим знаменатель:

\[ (\sqrt{2})^5 = (2^{1/2})^5 = 2^{5/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 4 \sqrt{2} \]

Теперь объединим числитель и знаменатель:

\[ \frac{243}{4 \sqrt{2}} \]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\[ \frac{243 \cdot \sqrt{2}}{4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{243 \sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{243 \sqrt{2}}{8} \]

Итак, возведение в степень выполнено.

Ответ: \( \frac{243 \sqrt{2}}{8} \).