2. Выберите функцию, возрастающую на промежутке [-π; 0]:

Решение:

Нам нужно определить, какая из предложенных функций является возрастающей на промежутке [-π; 0].

Рассмотрим каждую функцию:

• 1) y = tg x: Функция тангенс имеет вертикальные асимптоты в точках $$x = rac{\pi}{2} + \pi n$$, где $$n$$ — целое число. На промежутке [-π; 0] функция тангенс возрастает. Например, $$tg(-\pi) = 0$$, $$tg(-\frac{\pi}{2})$$ не определен, $$tg(0) = 0$$. Однако, на интервале $$(-\pi; -\frac{\pi}{2})$$ и $$(-\frac{\pi}{2}; 0)$$ функция возрастает. Если брать замкнутый промежуток [-π; 0], то функция возрастает на каждом из этих интервалов, но из-за разрыва в $$-rac{\pi}{2}$$ нельзя однозначно сказать, что она возрастает на всем промежутке.

• 2) y = cos x: Функция косинус на промежутке [-π; 0] убывает. Например, $$cos(-\pi) = -1$$, $$cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$$, $$cos(0) = 1$$. Значения увеличиваются, но это не значит, что функция возрастает. Если рассмотреть производную: $$y' = -sin(x)$$. На промежутке [-π; 0], $$sin(x) < 0$$ (кроме $$x=0$$ и $$x=-\pi$$), значит $$-sin(x) > 0$$. Следовательно, $$y = cos x$$ возрастает на промежутке [-π; 0]. Важно: На промежутке $$[-\pi; 0]$$ функция $$cos(x)$$ возрастает от -1 до 1.
• 3) y = ctg x: Функция котангенс также имеет вертикальные асимптоты (в точках $$x = \pi n$$). На промежутке [-π; 0] функция котангенс убывает. Например, $$ctg(-\pi)$$ не определен, $$ctg(-\frac{\pi}{2}) = 0$$, $$ctg(0)$$ не определен.
• 4) y = sin x: Функция синус на промежутке [-π; 0] убывает. Например, $$sin(-\pi) = 0$$, $$sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$$, $$sin(0) = 0$$.
• 5) все функции: Не подходит, так как не все функции возрастают на данном промежутке.

Анализ производных:

• $$y = tg x ightarrow y' = \frac{1}{cos^2 x}$$. На [-π; 0] $$cos^2 x > 0$$ (кроме $$x=-\frac{\pi}{2}$$), значит $$y' > 0$$. Функция возрастает.
• $$y = cos x ightarrow y' = -sin x$$. На [-π; 0], $$sin x \le 0$$, поэтому $$-sin x \ge 0$$. Функция возрастает.
• $$y = ctg x ightarrow y' = -\frac{1}{sin^2 x}$$. На [-π; 0] $$sin^2 x > 0$$ (кроме $$x=0, x=-\pi$$), значит $$y' < 0$$. Функция убывает.
• $$y = sin x ightarrow y' = cos x$$. На [-π; 0], $$cos x \le 0$$ (кроме $$x=0$$ и $$x=-\pi$$), значит $$y' \le 0$$. Функция убывает.

Таким образом, функции tg x и cos x возрастают на промежутке [-π; 0].

Внимание! В вариантах ответов просят выбрать ОДНУ функцию. Если рассматривать промежуток [-π; 0] в целом, то у тангенса есть разрыв в точке $$x=-\frac{\pi}{2}$$, что делает его не строго возрастающим на всем замкнутом интервале. Функция косинуса на отрезке $$[-\pi; 0]$$ является строго возрастающей.

Исходя из стандартного рассмотрения тригонометрических функций на заданных интервалах, функция $$y = cos x$$ является возрастающей на промежутке $$[-\pi; 0]$$.

Если предположить, что рассматриваются интервалы, где функция определена и монотонна, то y = tg x также возрастает на $$(-\frac{\pi}{2}, 0)$$ и $$(-\pi, -\frac{\pi}{2})$$.

Однако, если выбирать только одну функцию, которая является строго возрастающей на ВСЕМ промежутке [-π; 0] (где она определена), то это cos x.

Варианты ответов:

• а) 1);
• б) 2);
• в) 3);
• г) 4);
• д) 5).

Следовательно, правильный вариант ответа - б) 2)