2.Вычислить а) \(\sqrt[6]{7^4 5^2} \sqrt[6]{7^2 5^4}\), б) \((\sqrt{15}-\sqrt{60})\sqrt{15}\)

Решение:

а) Вычислим первый множитель:

1. Объединим корни с одинаковыми показателями: \(\sqrt[6]{7^4 5^2} = \sqrt[6]{(7^2)^2 5^2} = \sqrt[6]{(7^2 \cdot 5)^2} = \sqrt[6]{(49 \cdot 5)^2} = \sqrt[6]{245^2}\)
2. Упростим показатель степени под корнем: \(\sqrt[6]{245^2} = 245^{2/6} = 245^{1/3} = \sqrt[3]{245}\)

б) Вычислим второй множитель:

1. Раскроем скобки, умножив \(\sqrt{15}\) на каждое слагаемое в скобке: \((\sqrt{15}-\sqrt{60})\sqrt{15} = \sqrt{15} \cdot \sqrt{15} - \sqrt{60} \cdot \sqrt{15}\)
2. Вычислим первые произведение: \(\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = 15\)
3. Упростим второе произведение: \(\sqrt{60} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{60 \cdot 15} = \sqrt{900} = 30\)
4. Вычтем полученные значения: \(15 - 30 = -15\)

Суммируем результаты:

Сначала нужно было перемножить два выражения, а потом раскрыть скобки. Неверное решение, выше.

Правильное решение:

а)

1. Сначала перемножим выражения под корнями: \(\sqrt[6]{7^4 5^2} \cdot \sqrt[6]{7^2 5^4} = \sqrt[6]{(7^4 5^2) \cdot (7^2 5^4)}\)
2. Сгруппируем одинаковые основания: \(\sqrt[6]{7^{4+2} \cdot 5^{2+4}} = \sqrt[6]{7^6 \cdot 5^6}\)
3. Используем свойство корня \( \sqrt[n]{a^n b^n} = ab \): \(\sqrt[6]{7^6 \cdot 5^6} = 7 \cdot 5 = 35\)

б)

1. Раскроем скобки, умножив \(\sqrt{15}\) на каждое слагаемое: \(\sqrt{15}(\sqrt{15} - \sqrt{60}) = \sqrt{15} \cdot \sqrt{15} - \sqrt{15} \cdot \sqrt{60}\)
2. Первое произведение: \(\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = 15\)
3. Второе произведение: \(\sqrt{15} \cdot \sqrt{60} = \sqrt{15 \cdot 60} = \sqrt{900} = 30\)
4. Вычислим разность: \(15 - 30 = -15\)

Ответ: а) 35, б) -15.