2. Вычислить интегралы:

Привет! Давай вычислим эти интегралы по очереди.

2. а)

Интеграл:

\[ \int_{-1}^{2} (2x - x^3) dx \]

Решение:

1. Находим первообразную:

   Первообразная от 2x равна x².

   Первообразная от -x³ равна - (x⁴ / 4).

   Итак, первообразная функция: F(x) = x² - (x⁴ / 4).

2. Подставляем пределы интегрирования:

   F(2) = 2² - (2⁴ / 4) = 4 - (16 / 4) = 4 - 4 = 0

   F(-1) = (-1)² - ((-1)⁴ / 4) = 1 - (1 / 4) = 3/4

3. Вычисляем разность:

   F(2) - F(-1) = 0 - (3/4) = -3/4

Ответ: \[ -\frac{3}{4} \]

2. б)

Интеграл:

\[ \int_{-1}^{2} \frac{dx}{x^3} \]

Решение:

Этот интеграл является несобственным, так как функция 1/x³ имеет разрыв в точке x=0, которая находится внутри интервала интегрирования [-1, 2].

Для вычисления такого интеграла, нужно разбить его на два:

\[ \int_{-1}^{2} \frac{dx}{x^3} = \int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^3} + \int_{0}^{2} \frac{dx}{x^3} \]

Рассмотрим первый интеграл:

\[ \int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^3} = \lim_{b \to 0^-} \int_{-1}^{b} x^{-3} dx \]

Первообразная от x^-3 равна (x^-2 / -2) = -1 / (2x²).

\[ \lim_{b \to 0^-} \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_{-1}^{b} = \lim_{b \to 0^-} \left( -\frac{1}{2b^2} - \left( -\frac{1}{2(-1)^2} \right) \right) \]

\[ = \lim_{b \to 0^-} \left( -\frac{1}{2b^2} + \frac{1}{2} \right) \]

Когда b стремится к 0, -1/(2b²) стремится к -∞.

Следовательно, первый интеграл расходится.

Поскольку один из интегралов расходится, весь несобственный интеграл расходится.

Ответ: Интеграл расходится.

2. в)

Интеграл:

\[ \int_{-2}^{1} 3x^2 dx \]

Решение:

1. Находим первообразную:

   Первообразная от 3x² равна 3 * (x³ / 3) = x³.

2. Подставляем пределы интегрирования:

   F(1) = 1³ = 1

   F(-2) = (-2)³ = -8

3. Вычисляем разность:

   F(1) - F(-2) = 1 - (-8) = 1 + 8 = 9

Ответ:

\[ 9 \]

2. г)

Интеграл:

\[ \int_{\pi/3}^{\pi/2} 3\cos{x} dx \]

Решение:

1. Находим первообразную:

   Первообразная от cos(x) равна sin(x). Следовательно, первообразная от 3cos(x) равна 3sin(x).

2. Подставляем пределы интегрирования:

   F(π/2) = 3 * sin(π/2) = 3 * 1 = 3

   F(π/3) = 3 * sin(π/3) = 3 * (√3 / 2) = (3√3) / 2

3. Вычисляем разность:

   F(π/2) - F(π/3) = 3 - (3√3 / 2)

Ответ:

\[ 3 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \]