№ 2. Вычислить определённый интеграл методом интегрирования по частям: а) ∫₀¹ xe^(−x) dx; б) ∫₁ᵉ (x+1)ln x dx; в) ∫₀^(π/6) x cos(3x) dx; г) ∫₀^π x²sin x dx.

а)

Положим \(u=x\), \(dv=e^{-x}dx\). Тогда \(du=dx\), \(v=-e^{-x}\).

\[\begin{aligned}\int_0^1xe^{-x}dx&=\left.-xe^{-x}\right|_0^1+\int_0^1e^{-x}dx\\&=-\frac1e+\left[-e^{-x}\right]_0^1\\&=1-\frac2e.\end{aligned}\]

б)

Положим \(u=\ln x\), \(dv=(x+1)dx\). Тогда \(du=\frac{dx}{x}\), \(v=\frac{x^2}{2}+x\).

\[\begin{aligned}\int_1^e(x+1)\ln x\,dx&=\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\ln x\right|_1^e-\int_1^e\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\frac{dx}{x}\\&=\frac{e^2}{2}+e-\int_1^e\left(\frac{x}{2}+1\right)dx\\&=\frac{e^2}{2}+e-\left(\frac{e^2}{4}+e-\frac54\right)\\&=\frac{e^2+5}{4}.\end{aligned}\]

в)

Положим \(u=x\), \(dv=\cos 3x\,dx\). Тогда \(du=dx\), \(v=\frac13\sin 3x\).

\[\begin{aligned}\int_0^{\pi/6}x\cos3x\,dx&=\left.\frac{x\sin3x}{3}\right|_0^{\pi/6}-\frac13\int_0^{\pi/6}\sin3x\,dx\\&=\frac{\pi}{18}-\frac19=\frac{\pi-2}{18}.\end{aligned}\]

г)

Положим \(u=x^2\), \(dv=\sin x\,dx\). Тогда \(du=2x\,dx\), \(v=-\cos x\).

\[\begin{aligned}\int_0^\pi x^2\sin x\,dx&=\left.-x^2\cos x\right|_0^\pi+2\int_0^\pi x\cos x\,dx\\&=\pi^2+2\left.\left(x\sin x+\cos x\right)\right|_0^\pi\\&=\pi^2+2(-2)=\pi^2-4.\end{aligned}\]

Ответ: а) \(1-\frac2e\); б) \(\frac{e^2+5}{4}\); в) \(\frac{\pi-2}{18}\); г) \(\pi^2-4\).