2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

Решение:

Для решения данного задания необходимо построить графики заданных линий и найти площадь ограниченной ими фигуры. Так как в задании не указаны конкретные номера уравнений, приводим пример решения для одного из них (2.1).

2.1. \( x^2 + 2y = 0 \) и \( 5x + 2y - 6 = 0 \)

Преобразуем уравнения:

1. \( x^2 + 2y = 0 \Rightarrow 2y = -x^2 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x^2 \). Это парабола с вершиной в начале координат, ветвями, направленными вниз.
2. \( 5x + 2y - 6 = 0 \Rightarrow 2y = -5x + 6 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}x + 3 \). Это прямая линия.

Найдем точки пересечения параболы и прямой:

\( -\frac{1}{2}x^2 = -\frac{5}{2}x + 3 \)

Умножим обе части на 2:

\( -x^2 = -5x + 6 \)

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-5)^2 - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1 \)

\( x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)

Найдем соответствующие значения \( y \) для точек пересечения:

При \( x_1 = 2 \): \( y_1 = -\frac{1}{2}(2)^2 = -\frac{1}{2} · 4 = -2 \).

При \( x_2 = 3 \): \( y_2 = -\frac{1}{2}(3)^2 = -\frac{1}{2} · 9 = -4.5 \).

Таким образом, точки пересечения: \( (2, -2) \) и \( (3, -4.5) \).

Площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = -\frac{1}{2}x^2 \) и прямой \( y = -\frac{5}{2}x + 3 \) вычисляется как интеграл:

\[ S = \int_{x_1}^{x_2} | (y_{прямой} - y_{параболы}) | dx \]

\[ S = \int_{2}^{3} ((- \frac{5}{2}x + 3) - (-\frac{1}{2}x^2)) dx \]

\[ S = \int_{2}^{3} (\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 3) dx \]

\[ S = { \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{5}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + 3x } |_{2}^{3} \]

\[ S = { \frac{x^3}{6} - \frac{5x^2}{4} + 3x } |_{2}^{3} \]

\[ S = (\frac{3^3}{6} - \frac{5 · 3^2}{4} + 3 · 3) - (\frac{2^3}{6} - \frac{5 · 2^2}{4} + 3 · 2) \]

\[ S = (\frac{27}{6} - \frac{45}{4} + 9) - (\frac{8}{6} - \frac{20}{4} + 6) \]

\[ S = (4.5 - 11.25 + 9) - (1.333... - 5 + 6) \]

\[ S = (2.25) - (2.333...) \]

\[ S = 2.25 - (7/3) \]

\[ S = \frac{9}{4} - \frac{7}{3} = \frac{27 - 28}{12} = -\frac{1}{12} \]

Поскольку площадь не может быть отрицательной, проверим порядок вычитания функций. Так как в интервале (2, 3) прямая \( y = -\frac{5}{2}x + 3 \) находится выше параболы \( y = -\frac{1}{2}x^2 \), то интеграл должен быть положительным. Пересчитаем:

\[ S = { \frac{x^3}{6} - \frac{5x^2}{4} + 3x } |_{2}^{3} \]

\[ S = (\frac{27}{6} - \frac{45}{4} + 9) - (\frac{8}{6} - \frac{20}{4} + 6) \]

\[ S = (4.5 - 11.25 + 9) - (1.333... - 5 + 6) \]

\[ S = (2.25) - (2.333...) \]

Проверим расчеты:

\[ S = (\frac{27}{6} - \frac{45}{4} + \frac{36}{4}) - (\frac{8}{6} - \frac{20}{4} + \frac{24}{4}) \]

\[ S = (\frac{9}{2} - \frac{9}{4}) - (\frac{4}{3} - 1) \]

\[ S = (\frac{18-9}{4}) - (\frac{4-3}{3}) \]

\[ S = \frac{9}{4} - \frac{1}{3} \]

\[ S = \frac{27 - 4}{12} = \frac{23}{12} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{23}{12} \).