2. Вычислить площадь фигуры, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной линиями: y = x² - 3x; 3x + y - 4 = 0; y = 0.

Обоснование: Задача на вычисление площади фигуры, ограниченной параболой, прямой и осью Ox. Требуется найти точки пересечения кривых и определить пределы интегрирования.

Решение:

1. Перепишем уравнения:
• Парабола: \(y = x^2 - 3x\)
• Прямая: \(y = -3x + 4\)
• Ось Ox: \(y = 0\)
2. Найдем точки пересечения параболы и оси Ox:
• \(x^2 - 3x = 0\)
• \(x(x - 3) = 0\)
• \(x_1 = 0, x_2 = 3\)
3. Найдем точки пересечения прямой и оси Ox:
• \(-3x + 4 = 0\)
• \(3x = 4\)
• \(x = \frac{4}{3}\)
4. Найдем точки пересечения параболы и прямой:
• \(x^2 - 3x = -3x + 4\)
• \(x^2 = 4\)
• \(x_3 = -2, x_4 = 2\)
5. Анализ расположения: Фигура находится в верхней полуплоскости, то есть \(y \ge 0\).
• Для параболы \(y = x^2 - 3x\): ветви вверх, корни 0 и 3. В верхней полуплоскости находится при \(x \in (-\infty, 0] \cup [3, \infty)\).
• Для прямой \(y = -3x + 4\): \(y \ge 0\) при \(x \le \frac{4}{3}\).
6. Определение областей интегрирования:
• От \(x=0\) до \(x=\frac{4}{3}\), фигура ограничена осью Ox сверху и прямой \(y = -3x + 4\) снизу.
• От \(x=\frac{4}{3}\) до \(x=2\), фигура ограничена осью Ox сверху и параболой \(y = x^2 - 3x\) снизу. (Здесь нужно быть внимательным, так как парабола ниже оси Ox между 0 и 3).
7. Переформулируем задачу: Из-за того, что парабола \(y = x^2 - 3x\) находится ниже оси Ox на промежутке \((0, 3)\), для вычисления площади фигуры, расположенной *в верхней полуплоскости* и ограниченной этими линиями, нам нужно учесть, где функции положительны.
• Прямая \(y = -3x + 4\) положительна при \(x \le 4/3\).
• Парабола \(y = x^2 - 3x\) положительна при \(x < 0\) или \(x > 3\).
• Условие \(y=0\) означает, что нижняя граница - ось Ox.