2. Вычислить a) \( \frac{5^{-9} \cdot 25^{-2}}{125^{-4}} \) б) \( 27^{-3} : 9^{-4} \)

2. Вычисление значений выражений

а) \( \frac{5^{-9} \cdot 25^{-2}}{125^{-4}} \)

Приведём все числа к основанию 5:

\[ 25 = 5^2 \]\[ 125 = 5^3 \]

Подставим в выражение:

\[ \frac{5^{-9} \cdot (5^2)^{-2}}{(5^3)^{-4}} = \frac{5^{-9} \cdot 5^{2 \cdot (-2)}}{5^{3 \cdot (-4)}} = \frac{5^{-9} \cdot 5^{-4}}{5^{-12}} \]

Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ \frac{5^{-9-4}}{5^{-12}} = \frac{5^{-13}}{5^{-12}} = 5^{-13 - (-12)} = 5^{-13+12} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \]

б) \( 27^{-3} : 9^{-4} \)

Приведём числа к основанию 3:

\[ 27 = 3^3 \]\[ 9 = 3^2 \]

Подставим в выражение:

\[ (3^3)^{-3} : (3^2)^{-4} \]

Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ 3^{3 \cdot (-3)} : 3^{2 \cdot (-4)} = 3^{-9} : 3^{-8} \]

Используем свойство деления степеней \( a^m : a^n = a^{m-n} \):

\[ 3^{-9 - (-8)} = 3^{-9+8} = 3^{-1} = \frac{1}{3} \]

Ответ: а) \( \frac{1}{5} \); б) \( \frac{1}{3} \)