2. Вычислите: 25^1/log₆5 + 49^1/log₈7

Решение:

Вычислим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое: \( 25^{\frac{1}{\log_6 5}} \).

• Используем свойство логарифма \( \frac{1}{\log_c a} = \log_a c \).
• Тогда \( \frac{1}{\log_6 5} = \log_5 6 \).
• Первое слагаемое становится: \( 25^{\log_5 6} \).
• Используем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \).
• Перепишем \( 25 \) как \( 5^2 \): \( (5^2)^{\log_5 6} = 5^{2 \log_5 6} \).
• Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( k \log_a b = \log_a b^k \): \( 5^{\log_5 6^2} = 5^{\log_5 36} \).
• Применяем основное логарифмическое тождество: \( 5^{\log_5 36} = 36 \).

Второе слагаемое: \( 49^{\frac{1}{\log_8 7}} \).

• Используем свойство логарифма \( \frac{1}{\log_c a} = \log_a c \).
• Тогда \( \frac{1}{\log_8 7} = \log_7 8 \).
• Второе слагаемое становится: \( 49^{\log_7 8} \).
• Перепишем \( 49 \) как \( 7^2 \): \( (7^2)^{\log_7 8} = 7^{2 \log_7 8} \).
• Используем свойство степени и \( k \log_a b = \log_a b^k \): \( 7^{\log_7 8^2} = 7^{\log_7 64} \).
• Применяем основное логарифмическое тождество: \( 7^{\log_7 64} = 64 \).

Складываем результаты: \( 36 + 64 = 100 \).

Ответ: 100.