2. Вычислите: 36^(1/log5 6) + 64^(1/log7 8)

Решение:

Для вычисления значения выражения \( 36^{\frac{1}{\log_5 6}} + 64^{\frac{1}{\log_7 8}} \), воспользуемся свойством логарифмов \( \frac{1}{\log_b a} = \log_a b \).

1. Первое слагаемое: \( 36^{\frac{1}{\log_5 6}} = 36^{\log_6 5} \).
2. Применим свойство \( a^{\log_a b} = b \) или \( a^{\log_c b} = b^{\log_c a} \). В данном случае, \( 36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2 \log_6 5} = 6^{\log_6 5^2} = 5^2 = 25 \).
3. Второе слагаемое: \( 64^{\frac{1}{\log_7 8}} = 64^{\log_8 7} \).
4. Аналогично, \( 64^{\log_8 7} = (8^2)^{\log_8 7} = 8^{2 \log_8 7} = 8^{\log_8 7^2} = 7^2 = 49 \).
5. Сложим полученные значения: \( 25 + 49 = 74 \).

Ответ: 74.