2. Вычислите: a) log_√2(√32); б) 3^(4*log_3(2)); в) log_3(log_4(64)); г) log_1/10(5) + log_1/10(2); д) log_3(19) - log_3(57)

2. Вычислите:

1. a) \( \log_{\sqrt{2}} \sqrt{32} \)
   Пусть \( \log_{\sqrt{2}} \sqrt{32} = x \). Тогда \( (\sqrt{2})^x = \sqrt{32} \).
   \( (2^{\frac{1}{2}})^x = 2^{\frac{5}{2}} \)
   \( 2^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} \)
   \( \frac{x}{2} = \frac{5}{2} \)
   \( x = 5 \)
2. б) \( 3^{4 \log_3 2} \)
   Используем свойство степеней: \( a^{m \cdot n} = (a^m)^n \) и \( a^{\log_a b} = b \).
   \( 3^{4 \log_3 2} = (3^{\log_3 2})^4 = 2^4 = 16 \)
3. в) \( \log_3 (\log_4 64) \)
   Сначала вычислим внутренний логарифм: \( \log_4 64 \). Так как \( 4^3 = 64 \), то \( \log_4 64 = 3 \).
   Теперь подставим:
   \( \log_3 3 = 1 \)
4. г) \( \log_{\frac{1}{10}} 5 + \log_{\frac{1}{10}} 2 \)
   Используем свойство логарифмов: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \).
   \( \log_{\frac{1}{10}} (5 \cdot 2) = \log_{\frac{1}{10}} 10 \).
   Так как \( \left( \frac{1}{10} \right)^{-1} = 10 \), то \( \log_{\frac{1}{10}} 10 = -1 \)
5. д) \( \log_3 19 - \log_3 57 \)
   Используем свойство логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left( \frac{b}{c} \right) \).
   \( \log_3 \left( \frac{19}{57} \right) = \log_3 \left( \frac{1}{3} \right) \).
   Так как \( 3^{-1} = \frac{1}{3} \), то \( \log_3 \left( \frac{1}{3} \right) = -1 \)