2. Вычислите: \(\frac{30^5}{15^3 \cdot 6^2}\)

Решение:

Разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители:

\( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \)

\( 15 = 3 \cdot 5 \)

\( 6 = 2 \cdot 3 \)

Подставим разложения в выражение:

\( \frac{(2 \cdot 3 \cdot 5)^5}{(3 \cdot 5)^3 \cdot (2 \cdot 3)^2} = \frac{2^5 \cdot 3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2} \)

Сгруппируем основания степеней:

\( \frac{2^5 \cdot 3^5 \cdot 5^5}{2^2 \cdot 3^{3+2} \cdot 5^3} = \frac{2^5 \cdot 3^5 \cdot 5^5}{2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^3} \)

Сократим степени:

\( 2^{5-2} \cdot 3^{5-5} \cdot 5^{5-3} = 2^3 \cdot 3^0 \cdot 5^2 = 8 \cdot 1 \cdot 25 = 200 \)

Ответ: 200