2. Вычислите интегралы:

Решение:

a) \( \int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx \)

Чтобы вычислить этот определённый интеграл, сначала найдём неопределённый интеграл от \( \sin(2x) \).

Пусть \( u = 2x \), тогда \( du = 2 dx \), или \( dx = \frac{1}{2} du \).

\( \int \sin(u) \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin(u) du = \frac{1}{2} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{2} \cos(2x) + C \)

Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы интегрирования:

\[ \int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right]_{0}^{\pi} \]

\[ = \left( -\frac{1}{2} \cos(2\pi) \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot 0) \right) \]

\[ = \left( -\frac{1}{2} \cdot 1 \right) - \left( -\frac{1}{2} \cdot 1 \right) \]

\[ = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \]

б) \( \int_{0}^{-1} (x^4 - 3x^3 + 2x^2) dx \)

Сначала найдём неопределённый интеграл от многочлена:

\[ \int (x^4 - 3x^3 + 2x^2) dx = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{0}^{-1} (x^4 - 3x^3 + 2x^2) dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{-1} \]

\[ = \left( \frac{(-1)^5}{5} - \frac{3(-1)^4}{4} + \frac{2(-1)^3}{3} \right) - \left( \frac{0^5}{5} - \frac{3(0)^4}{4} + \frac{2(0)^3}{3} \right) \]

\[ = \left( \frac{-1}{5} - \frac{3(1)}{4} + \frac{2(-1)}{3} \right) - (0) \]

\[ = -\frac{1}{5} - \frac{3}{4} - \frac{2}{3} \]

Приведём к общему знаменателю, который равен 60:

\[ = -\frac{1 \times 12}{60} - \frac{3 \times 15}{60} - \frac{2 \times 20}{60} \]

\[ = \frac{-12 - 45 - 40}{60} = \frac{-97}{60} \]

в) \( \int_{1}^{3} \frac{dx}{x} \)

Неопределённый интеграл от \( \frac{1}{x} \) равен \( \ln|x| \).

Вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x} = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{3} \]

\[ = \ln|3| - \ln|1| \]

Так как \( \ln(1) = 0 \), получаем:

\[ = \ln(3) - 0 = \ln(3) \]

Ответ: а) 0; б) -\(\frac{97}{60}\); в) \(\ln(3)\)