2. Вычислите интегралы: а) $\int_0^2 3z\,dz$; б) $\int_1^2 (x^5+1)\,dx$; в) $\int_{\pi/2}^{\pi/3} 2\cos\frac{x}{2}\,dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Вычислите интегралы: а) $\int_0^2 3z\,dz$; б) $\int_1^2 (x^5+1)\,dx$; в) $\int_{\pi/2}^{\pi/3} 2\cos\frac{x}{2}\,dx$.$ Фото задания

2. Вычислите интегралы: а) $\int_0^2 3z\,dz$; б) $\int_1^2 (x^5+1)\,dx$; в) $\int_{\pi/2}^{\pi/3} 2\cos\frac{x}{2}\,dx$.

Accepted Answer

а) Первообразная для $3z$ — $\frac{3z^2}{2}$. Подставляем пределы:

$\int_0^2 3z\,dz=\left.\frac{3z^2}{2}\right|_0^2=6$.

б) Первообразная для $x^5+1$ — $\frac{x^6}{6}+x$. Подставляем пределы:

$\int_1^2 (x^5+1)\,dx=\left.\left(\frac{x^6}{6}+x\right)\right|_1^2=\left(\frac{64}{6}+2\right)-\left(\frac{1}{6}+1\right)=\frac{27}{2}$.

в) Первообразная для $2\cos\frac{x}{2}$ — $4\sin\frac{x}{2}$. Учитываем порядок пределов, заданный в записи:

$\int_{\pi/2}^{\pi/3}2\cos\frac{x}{2}\,dx=\left.4\sin\frac{x}{2}\right|_{\pi/2}^{\pi/3}=4\left(\frac12-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2-2\sqrt2$.

Ответ: а) 6; б) $\frac{27}{2}$; в) $2-2\sqrt2$.

2. Вычислите интегралы: а) \(\int_0^2 3z\,dz\); б) \(\int_1^2 (x^5+1)\,dx\); в) \(\int_{\pi/2}^{\pi/3} 2\cos\frac{x}{2}\,dx\).

Ответ: