2. Вычислите интегралы: а) $\int_0^4 dx$; б) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}\right)dx$; в) $\int_0^1(x^3+x^2-x+1)dx$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Вычислите интегралы: а) $\int_0^4 dx$; б) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}\right)dx$;…$ Фото задания

2. Вычислите интегралы: а) $\int_0^4 dx$; б) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}\right)dx$; в) $\int_0^1(x^3+x^2-x+1)dx$.

Accepted Answer

а) Первообразная для $1$ — $x$:

$\int_0^4 dx=[x]_0^4=4-0=4$.

б) Первообразная для подынтегральной функции — $2\sin\dfrac{x}{2}-2\cos\dfrac{x}{2}$:

$\left[2\sin\dfrac{x}{2}-2\cos\dfrac{x}{2}\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=2\sqrt{2}$. Слагаемые с синусом дают нулевой вклад на симметричных пределах.

в) Найдём первообразную каждого слагаемого:

$\int_0^1(x^3+x^2-x+1)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x\right]_0^1=\dfrac14+\dfrac13-\dfrac12+1=\dfrac{13}{12}$.

Ответ: а) $4$; б) $2\sqrt{2}$; в) $\dfrac{13}{12}$.

2. Вычислите интегралы: а) \(\int_0^4 dx\); б) \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\cos\dfrac{x}{2}+\sin\dfrac{x}{2}\right)dx\); в) \(\int_0^1(x^3+x^2-x+1)dx\).

Ответ: